مقدمه
بحث قابلیت اعتماد از جالبترین مباحث آمار است که برای هر نوع سلیقه و ضرورتهای علمی مطلبی ارزنده دارد از لحاظ کاربرد علوم در صنعت، تکنولوژی و سایر علوم نقش اساسی و انکارناپذیر دارد. مجموعه ای که ملاحظه می‌کنید بحثی از مدلیابی قابلیت اعتماد است در فصل اول مفاهیم پایه‌ای که ضرورت دارد مثل تابع قابلیت اعتماد و تابع مخاطره آمده است در فصل دوم توزیع هایی که در قابلیت اعتماد کاربرد دارند ملاحظه می‌شود فصل سوم مبحثی از انتخاب مدل ها در قابلیت اعتماد دارد که شامل بخش هایی ویژه است در فصل 4 مبحث برازش مدل را با استفاده از آزمونهایی رایج در علم آمار داریم. در این مجموعه سعی شده است از مثالهایی زیاد و پرکابرد و نمودارهای متناسب با آن استفاده شود.
فصل اول
مفاهیم پایه
تابع قابلیت اعتماد:
فرض کنید T یک متغیر تصادفی پیوسته که نشان دهنده ویژگی طول عمر است میباشد که زمان شکست نامیده می‌شود با تابع چگالی احتمال f(t) و فرض کنید T یک مقدار نامنفی است و مقیاس اندازه گیری تعریف می‌شود یک درک ویژه از T علامت گذاری کردن T است. تابع توزیع به صورت زیر است:
F(t) تجمع احتمال شکست را همانطور که t افزایش پیدا می‌کند توصیف می‌کند. F(t) در حال افزایش در زمان t=0، صفر است و متمایل به یک است وقتی t به بی نهایت میل می‌کند همچنین f(t) با مشتق گیری از F(t) بدست می‌آید.
(نمودار و نصاویر در فایل اصلی موجود است )
صدمین صدک از توزیع T، مقدار tpرا می‌گیرد.
چنین نکاتی در یک توزیع طول عمر مناسب اند مثلا طول عمر ضمانت شده تولید مصرف کننده تابع قابلیت اعتماد R(t) بصورت زیر است:
R(t1=1-F(t)= P(T>t)
این احتمال وقتی که طول عمر از t متجاوز می‌شود را بیان می‌کند و اندازه عمده‌ای از قابلیت اعتماد است. می‌گوییم قابلیت اعتماد در to است. تابع قابلیت اعتماد تکمیل کننده F(t) است مقدار یک در t=0 می‌گیرد و متمایل به صفر است وقتی t به بی نهایت میل می‌کند.
F(t) و R(t)برهم منطبقند وقتی دو تابع مقدار 5/0 می‌گیرند. مقدار t در این نقطه t0/5 میانه است که یک اندازه ممکن برای متوسط طول عمر است.
مثال (1-1): یک تولید که دارای تابع قابلیت اعتماد زیر است:
که t سالها را اندازه می‌گیرد ضمانت 6 ماهه دارد احتمال شکست تولید در زمان گارانتی بوسیله داده شده است.
تعیین مدت زمان گارانتی لازم برای احتمال شکست 0/01، یعنی t0/01 از طریق حل معادله زیر بدست می آید :
بنابراین یک زمان گارانتی مناسب برای این تولید ممکن است تنها 3 ماه باشد. در آنالیز قابلیت اعتماد متوسط زمان برای شکست سیستم (MTTF) اغلب از موضوعهای مورد علاقه است که بصورت زیر میباشد:
(1-1)
اکنون می‌توانیم نشان دهیم وقتی T روی بازه تعریف می‌شود، MTTF ناحیه بین R(t) و محور t است. این یک مقایسه مفید از توابع قابلیت اعتماد گوناگون است. با ارزیابی طرف راست (1-1) درمی‌یابیم که:
در tR(t)، R(t) همانطورکه t به بی نهایت میل می‌کند متمایل به صفر است خیلی سریعتر از وقتی که t متمایل به بی نهایت است. بنابراین:
(2-1)
در نمودار (2-1) ناحیه تحت R2(t) واضحا بزرگتر از ناحیه تحت R1(t) است. و با قابلیت اعتماد بزرگتری در تمام t همراه است. در نمودار (3-1) توزیع های طول عمر MTTF یکسان دارند اما در واقع خیلی متفاوت اند.
یک عامل مهم در انتخاب مدل بهتر طول عمر مورد نیاز تولید است. واضح است که برای مقادیر کم t، R2(t) رضایت بخش تر است. حال با این مدل قابلیت اعتماد یک مرتبه شروع به سرازیری رفتن می‌کند عامل تفاوت بین این مدلها MTTF نیست اما می‌تواند واریانس باشد، اندازه واریانس درجه‌ای است که توزیع طول عمر را گسترش می‌دهد که مقدار آن اینگونه بیان می‌شود:
(3-1)
انحراف معیار است، ریشه دوم واریانس و همان واحد t را دارد.
تابع مخاطره
تابع چگالی احتمال مقدار احتمال غیرشرطی شکست در زمان t است. اما بیشتر مورد استفاده در آنالیز قابلیت اعتماد است تا ببیند که چگونه یک بخش سیستم که در زمان t باقی می‌ماند متمایل به شکست است.
یک فاصله کوچک زمانی [t,t+t] را در نظر بگیرید احتمالی غیر شرطی که یک واحد سیستم در این فاصله شکست می‌خورد است. برای های خیلی کوچک این مقدار تقریبا میباشد.
فرض کنید برآمد A «باقی ماندن آنسوی t» و برآمد B شکست در زمان باشد برآمد A شامل برآمد B می‌شود. احتمال اینکه واحدهای سیستم در زمان داده شده است که هیچ شکستی در زمان [0,t] رخ نداده است به صورت زیر است:
تابع h(t) مخاطره نامیده می‌شود. تابع مخاطره چگونگی تمایل واحدی از سیستم را به شکست بعد از یک مدت زمان توصیف می‌کند.
(4-1)
تابع مخاطره تجمعی به شکل زیر است:
بنابراین
تنها لازم است بدانید یکی از توابع R(t), f(t) , h(t) قادر خواهد بود دو تای دیگر را استنباط کند همانطور که در شکل (1-4) نشان داده شده است تابع مخاطره مهم است زیرا تعبیر طبیعی مستقیم و اطلاعاتی درباره طبیعت تابع در انتخاب یک مدل مناسب طول عمر مفید است.
شکل (1-4)- ارتباط بین R(t) , f(t) , h(t)
تابع مخاطره ممکن است شکلهای متفاوتی به خود بگیرد:
(i) بنابراین و این تابع قابلیت اعتماد توزیع نمایی با پارامتر است. این طور در نظر گرفته می‌شود که یک واحد سیستم هر لحظه اززمان سالم می‌ماند که به آن ویژگی عدم حافظه گفته می‌شود. مثلا یک اختراع الکترونیکی ممکن است تحت کنترل بعضی محیط ها که فرآیند تصادفی هستند ماندن یک موج نیرو یا دیگر تکان ها قرار بگیرد اگر این اختراع وقتی تکان ها اتفاق می افتد شکست بخورند اما در غیر این صورت زمان بین تکان ها نشان دهنده زمان شکست اختراع است.
h(t) (ii) تابع افزایشی از t است واحدی است برای خراب شدن سیستم در طی فرسودگی، کوفتگی یا خسارات جمع شده در عمل این رایج ترین مدل است.
h(t) (iii) تابع کاهشی از t است، این تابع کمتر رایج است اما ممکن است در قسمتی از فرآیند تولید که کیفیت اجزا پایین است که زود شکست می‌خورند واقعی باشد. ممکن است فرآیندی استفاده شود تا این بخش‌های معیوب را برطرف سازد تا اجزایی با کیفیت بالاتر که فرسودگی آهسته و تدریجی را نشان می دهند بوجود آید.
بطور مشابه یک اختراع مکانیکی ممکن است زمانی که کار می‌کند به یک قطعه‌ای که اجزا را تبدیل به جامد می‌کند احتیاج پیدا کند تا اختراع را بعد از اینکه قابل اطمینان تر می‌شود سفت کند. شکل کامل با مدلی که تابع “Bath tub" نامیده می‌شود داده شده در اینجا ما با خطر کاهش جزئی روبرو هستیم که بوسیله یک زمان ثابت شکست که، «عمر مفید» و به صورت نهایی «فرسوده شدن» نامیده می‌شود پیروی کند جائیکه میزان خطر افزایش پیدا می‌کند شکل (1-5) معمولا مفید نیست که بصورت مدل bath tub کامل در سطح پیچیده مدل بندی می‌کنیم اغلب صورتهای متفاوت بطور جداگانه رفتار می‌شوند.
مثال (1-2):یک مدل خطی ممکن است تقریبی مناسب برای تابع مخاطره bath tub باشد. فرض کنید h(t) بصورت زیر باشد:
که c0 و c1 مثبت هستند این تابع خطر را وقتی مقادیر در زمان t=0 بطور خطی تا t=t0 افزایش یابد و تا t=t1 ثابت باقی بماند و بعد از آن بطور خطی کاهش پیدا کند را نشان می‌دهد.
امید ریاضی
فرض کنید توابعی از متغیر تصادفی پیوسته x با u(x) داده شده باشد مقادیر مورد انتظار u توسط فرمول زیر بدست می‌آید.
(5-1)
تعریف مشابهی در رابطه با متغیر تصادفی گسسته نیز وجود دارد:
(6-1)
به شکل و با var(x) توسط فرمول زیر بیان می‌شود.
اگر سن متداول t0 و سن شکست t باشد میانگین طول عمر باقی مانده توسط فرمول زیر بیان می‌شود