پایان نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد"M.Sc."
:چکیده
در این پایان نامه ضمن آشنایی با معادلات انتگرال خطی و غیر خطی روش هایی را برای حل معادلات مذکور که معروف به روش تجزیه آدومیان و آشفتگی هموتوپی می باشند ارائه داده ایم.
همچنین تلاش گردیده ضمن مقایسه این دو روش به ویژه برای معادلات براتو در محیط نرم افزاری مطلب به مزیت ها و معایب به کار گیری آنها در حل معادلات انتگرال اعم از خطی و غیر خطی آشنا شویم.
پیشگفتار:
با گسترش علوم غیر خطی علاقه و نیاز به روش های تحلیلی و عددی روز به روز در حال افزایش است.از آن جایی که حل مسائل غیر خطی همواره مورد چالش است یافتن روشهایی که به وسیله آن بتوان مسائل غیر خطی را حل نمود از اهداف دانشمندان علوم و مهندسین است.از افرادی که در این خصوص تلاش مفید و موثری داشتند جورج آدومیان بود که در قالب یک مجموعه مدرن برای اولین بار در سال 1983 اثر خودش را به چاپ رساند.وی در کتاب خود به ارائه روش تجزیه جهت حل مسائل مقدار اولیه و مرزی با شرایط بسیار پیچیده و همچنین گونه ی جدیدی از روش تجزیه خویش پرداخت.
در این پایان نامه ضمن آشنایی با ایده های مذکور به به کار گیری آن در مساله خاص مقدار مرزی و مقدار اولیه براتو آشنا می شویم و جواب های آن را با روش مدرن و جدید آشفتگی هموتوپی مقایسه می کنیم. تلاش شده است به مزیت ها و چالش های این دو روش در فراوری تحقیق پرداخته گردد.به ویژه آن که محاسبات پیچیده آن با نرم افزار مطلب صورت پذیرفته است.
این تلاش در چهار فصل تنظیم گردیده است.در فصل اول تحت عنوان معادلات انتگرال با گونه هایی از معادلات انتگرال آشنا می شویم در فصل دوم با دو روش موسوم به تجزیه آدومیان و روش آشفتگی هموتوپی آشنا می گردیم و سپس با به کار گیری آنها با معادلات آمده در فصل اول آشنا می گردیم.
در فصل سوم به معادلات براتو می پردازیم و به نحوه به کار گیری روش های مذکور برای این دسته از معادلات پرداخته می شود و در پایان با توجه به مزیت هایی که در روش آشفتگی هموتوپی ملاحظه گردید به به کار گیری آن برای دسته ای از معادلات معروف کاواهارا و فیشر اشاره می گردد.
-1 مقدمه:
در این فصل تعریفی از معادلات انتگرال وتقسیم بندی معادلات ارائه می دهیم و همچنین با حل چند مثال انواع معادلات انتگرال را معرفی می کنیم.
1-2 معادله انتگرال
تعریف1-1 : یک معادله انتگرال معادله ای است که در آن تابع مجهول حداقل زیر یک علامت انتگرال ظاهر می شود. یک نمونه از یک معادله انتگرال که در آن تابع مجهولی است و باید معلوم شود به صورت زیر است:
(1-1)
که در آن هسته معادله انتگرال نامیده می شود و و حدود انتگرالگیری هستند.
در معادله (1-1) تابع مجهول در زیر علامت انتگرال ظاهر شده است و در حالتهای دیگر ممکن است در خارج از علامت انتگرال هم ظاهر شود.
باید توجه کرد که هسته معادله یعنی و تابع از قبل معلوم هستند. هدف پیدا کردن تابع مجهول است که در رابطه (1-1) صدق کند. برای این کار روشهای مختلفی به کار برده می شود.
معادلات انتگرال در مباحث بسیاری از علوم از قبیل فیزیک، بیولوژی، شیمی و مهندسی ظاهر می شوند.
در مثال زیر درباره نحوه تبدیل یک مسأله مقدار اولیه به یک معادله انتگرال بحث خواهیم کرد.
مثال 1-1 : مسأله مقدار اولیه زیر را در نظر می گیریم:
(1-2)
که در شرط اولیه زیر صدق کند:
اگر از طرفین رابطه (1-2) نسبت به در فاصله انتگرال بگیریم خواهیم داشت:
( 1- 4 )
و در نتیجه با انتگرال گرفتن از طرفین رابطه (1-2) و استفاده از شرط (1-3) داریم:
( 1- 5 )
از مقایسه طرفین روابط(1-5) و (1-1) در می یابیم که(1-5) یک معادله انتگرال با هسته و تابع است.
همان طوری که در بالا هم اشاره شد، هدف اصلی ما تعیین تابع مجهول است که در زیر علامت انتگرال نظیر معادله کلی(1-1) و معادله خاص(1-5) ظاهر شده است و در معادله انتگرال داده شده صدق می کند. به معادلات انتگرال(1-1) و (1-5) معادلات انتگرال خطی می گویند. زیرا که تابع زیر علامت انتگرال به صورت خطی است یعنی توان یک دارد. اما اگر تابع در زیر علامت انتگرال با توابع غیر خطی نظیر یا یا و غیره تعویض شود، آنگاه معادله انتگرال را غیر خطی
می گویند.
1-3 تقسیم بندی معادلات انتگرال
متداولترین معادلات انتگرال خطی را می توان به دو گروه معادلات انتگرال فردهلم و معادلات انتگرال ولترا دسته بندی نمود.
اما معادلات انتگرال خطی و غیر خطی را می توان به پنج نوع دسته بندی کرد:
معادلات انتگرال فردهلم
معادلات انتگرال ولترا
معادلات انتگرال- دیفرانسیل
معادلات انتگرال منفرد
معادلات انتگرال فردهلم- ولترا
اکنون تعاریف و خواص عمده هر نوع را بررسی می کنیم:
1-3-1 معادلات انتگرال خطی فردهلم
شکل استاندارد معادلات انتگرال خطی فردهلم که در آنها حد پایین و بالای انتگرال گیری به ترتیب اعداد ثابت a و b هستند به صورت زیر می باشد:
(1-7)
که در آن هسته معادله انتگرال، و تابع از قبل مشخص هستند و هم یک پارامتر معلوم است. معادله(1-7) را خطی می گویند. زیرا که تابع مجهول در زیر علامت انتگرال به صورت خطی ظاهر شده است یعنی توان یک است. بر حسب اینکه کدامیک از مقادیر زیر را انتخاب کند معادلات انتگرال فردهلم خطی به دو دسته تقسیم می شوند:
1- زمانی که معادله(1-7) به معادله زیر تبدیل می شود:
(1-8)
این معادله را معادله انتگرال فردهلم نوع اول می نامند.
2- زمانی که معادله(1-7) به شکل زیر در خواهد آمد.
(1-9)
این معادله را معادله انتگرال فردهلم نوع دوم می گویند.
1-3-2 معادلات انتگرال خطی ولترا
شکل متعارفی معادلات انتگرال خطی ولترا که در آنها حد پایین عدد ثابت و حد بالای انتگرال گیری متغیر باشد به صورت زیر است:
(1-10)
که در آن تابع مجهول یعنی در زیر علامت به صورت خطی می باشد.
باید توجه کرد که(1-10) را می توان به عنوان یک حالت خاص معادلات انتگرال فردهلم در نظر گرفت به طوری که هسته ، برای صفر فرض شود.
معادلات انتگرال ولترا را می توان با توجه به مقدار به دو گروه تقسیم بندی کرد:
1- در حالتی که ، معادله( 1-10 ) به صورت زیر تبدیل خواهد شد:
(1-11) .
این معادله را معادله انتگرال ولترای نوع اول می گویند.
2- زمانی که ، آنگاه معادله(1-10) به شکل زیر در خواهد آمد:
(1-12)
این معادله را معادله انتگرال ولترای نوع دوم می نامند.
با توجه به معادلات(1-7) تا (1-12) می توان نتیجه گیری های زیر را ارائه نمود:
1- « ساختمان معادلات فردهلم و ولترا »
در معادلات انتگرال ولترا و فردهلم خطی نوع اول تابع مجهول به طور خطی زیر علامت انتگرال ظاهر می شود.
اما در مورد معادلات انتگرال ولترا و فردهلم خطی نوع دوم، تابع مجهول هم در زیر علامت انتگرال و هم در خارج از علامت انتگرال به صورت خطی ظاهر می شود.
2- « حدود انتگرال گیری »
در معادلات انتگرال فردهلم، انتگرال گیری روی یک فاصله متناهی با حدود ثابت انجام می شود. اما در معادلات انتگرال ولترا حداقل یکی از حدود فاصله انتگرالگیری متغیر است و معمولاً حد بالای انتگرالگیری به صورت متغیر ظاهر می شود.
3- « خاصیت خطی »
تابع مجهول در معادله انتگرال ولترا و فردهلم در زیر علامت انتگرال با توان یک ظاهر می شود اما زمانی که به جای عبارتی مانند داشته باشیم، معادلات انتگرال غیرخطی فردهلم و ولترا خواهیم داشت.
در زیر مثالهایی از معادلات انتگرال غیر خطی آورده شده است:
(1-13)
(1-14)
(1-15)
در این مثالها به جای به ترتیب ، و آمده است.
4- « منشأ ظهور معادلات انتگرال »
باید به این نکته مهم توجه کرد که معادلات انتگرال در بسیاری از مسائل مهندسی، فیزیک، شیمی و بیولوژی ظاهر می شود. البته معادلات انتگرال به عنوان نمایش جواب معادلات دیفرانسیل هم به کار می روند. به طوری که اگر معادلات دیفرانسیل مورد نظر به صورت یک مسأله مقدار مرزی باشد آنگاه معادله انتگرالی که ظاهر می شود از نوع فردهلم بوده و اگر معادله دیفرانسیل مورد نظر در قالب یک مسأله مقدار اولیه باشد آنگاه معادله حاصل یک معادله انتگرال ولترا خواهد بود.[1]
بر حسب اینکه معادله انتگرال از چه نوع مسأله ای ظاهر می شود روش ها و ایده های مختلفی برای تعیین جواب معادله انتگرال به کار برده می شود.
5- « خاصیت همگن بودن »
اگر در معادله انتگرال فردهلم نوع دوم(1-9) و معادله انتگرال ولترای نوع دوم
(1-12)، شرط برقرار باشد، آنگاه معادله حاصل را یک معادله انتگرال همگن می نامند. در غیر این صورت معادله مورد نظر را یک معادله انتگرال غیر همگن می گویند.
6- « رفتار تکین معادله انتگرال »
یک معادله انتگرال را منفرد می نامند اگر انتگرال موجود در معادله ناسره باشد این حالت معمولاً زمانی رخ می دهد که فاصله انتگرالگیری نامتناهی باشد یا اینکه هسته معادله در یک یا تعداد بیشتری نقاط از بازه مورد نظر یعنی بی کران باشد.
در ضمن دسته دیگری از معادلات مهم که به هر دو دسته از معادلات انتگرال ولترا و فردهلم مربوط
می شود، معادلات انتگرال- دیفرانسیل می باشند که در قسمت بعد به معرفی آنها می پردازیم.
Abstract
In This thesis, While we become familiar with linear and non-linerar integral equations, we represent methods to solve mentioned equations which known as Adomian decomposition and Homotopy perturbation methods.
Also it has been tried that in addition to comparison of these two methods, in particular for Bratu᾿s equation in software environment of MATLAB, we become familiar with advantages and disadvantages of their implementation in solving linear and non-linear integral equations.