فصل اول:
هدف، پیشینه تحقیق و روش کار
هدف:
بررسی خواص اساسی از زیر مدول های اول و خواص -M رادیکال ها و هدف نهایی بررسی مفاهیم پوش یک زیر مدول و برهان قضیه 1 و 2 گفته شده در مقدمه و چکیده پایان نامه می باشد.
پیشینه تحقیق و روش کار:
برای گردآوری این پایان نامه از ژورنالهای مختلف ریاضی در گرایش جبر موجود در کتابخانه های معتبر مانند IPM استفاده شده است و هنوز در هیچ کتاب درسی در سطح کارشناسی ارشد و دکترا مفاهیم فوق نوشته و بررسی نشده است.
فصل دوم:
تعاریف و قضایای مقدماتی
تعریف(1-2): مجموعه R همراه با دو عمل دوتائی + و . را یک حلقه گوئیم اگر،
الف) (R , +) یک گروه آبلی باشد.
ب) به ازاء R a,b,c ، a(b c) = (a b)c
ج) به ازاء هر R a,b,c
(قانون توزیع پذیری چپ) a(b+c) = ab+ac
(قانون توزیع پذیری راست) (b+c) a= ba+ca
تعریف(2-2): حلقه R را تعویض پذیر(یا جابجائی) گوئیم هر گاه:
تعریف(3-2): اگر حلقه R نسبت به عمل ضرب دارای عضو همانی باشد آنگاه این عضو را با 1R، یا به طور ساده با 1، نمایش می دهیم و آن را یکه R می نامیم
تذکر: در سراسر پایان نامه R حلقه جابجایی و یکدار فرض می شود.
تذکر: اگر R حلقه ای یکدار بوده و به ازاء هر داشته باشیم ab=ba=1 آنگاه a را یک واحد(یا عضو وارون پذیری) می نامیم.
تعریف(4-2): گوئیم حلقه R بدون مقسوم علیه صفر است هر گاه:
یا
تعریف(5-2): هر حلقه جابجائی، یکدار و بدون مقسوم علیه صفر را دامنه صحیح می نامیم.
تعریف(6-2): زیر مجموعه S از حلقه R یک زیر حلقه R است اگر:
تعریف(7-2): زیر حلقه I از R را ایده آل R نامیم هر گاه:
تعریف(8-2): ایده آل I از حلقه R را، ایده آل سره نامند هر گاه: و می نویسیم :
تعریف(9-2): ایده آل P از حلقه R را ایده آل اول نامند هر گاه:
یا
تعریف(10-2): اگر I یک ایده آل از حلقه R باشد آنگاه:
را حلقه خارج قسمتی R بر I نامند.
تذکر: اگر R جابجائی و یکدار باشد آنگاه نیز جابجائی و یکدار است.
لم(11-2): فرض کنید P ایده آل حلقه R باشد آنگاه:
P ایده آل اول است اگر و تنها اگر دامنه صحیح باشد.
تعریف(12-2): دامنه صحیح D را دامنه ددکنید نامند هر گاه هر ایده آل آن به صورت حاصل ضرب، ایده آلهای اول باشد.
تعریف(13-2): ایده آل سره M از حلقه R را ایده آل ماکزیمال نامند هر گاه M داخل هیچ ایده آل سره از R قرار نگیرد.
تعریف(14-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار باشد. در این صورت R را یک میدان نامیم هر گاه هر عضو ناصفر آن دارای وارون ضربی باشد.
لم(15-2): فرض کنیم R حلقه و M ایده آلی از حلقه R باشد آنگاه:
M یک ایده آل ماکزیمال R است اگر و تنها اگر میدان باشد.
تعریف(16-2): فرض کنیم X زیر مجموعه ای از حلقه R باشد. فرض کنیم خانواده همه
ایده آلهای R شامل X باشد. آنگاه را ایده آل تولید شده توسط X نامیده و با علامت(X) نمایش
می دهند.
تذکر: علامت X مولدهای ایده آل(X) نامیده می شود.
اگر در این صورت گویند(X) یک ایده آل متناهیا تولید شده است.
تذکر: در حالت خاص وقتی که X={a} باشد داریم:
تعریف(17-2): حلقه R را یک حوزه ایده آل اصلی نامیم هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر ایده آل آن توسط یک عضو تولید شود.
تعریف(18-2): در حلقه R، گوئیم عنصر b,a را می شمارد و می نویسیم a | b هر گاه:
تعریف(19-2): عنصر p را در حلقه R اول گوییم هر گاه:
یا
تعریف(20-2): حلقه R را حوزه تجزیه یکتا گویند هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر عضو آن را بتوان به صورت حاصلضرب متناهی و منحصر بفرد از عناصر اول نوشت.
تعریف(21-2): ایده آل P از حلقه R را یک ایده آل اولیه نامیم هر گاه اولا و ثانیا
تعریف(22-2): فرض کنیم I ایده آل حلقه R باشد. رادیکال ایده آل I را به صورت نمایش می دهند و عبارت است از:
لم(23-2): اگر R یک حلقه و I ایده آلی از حلقه R باشد در اینصورت که در آن P ایده آل اول حلقه R و شامل I است.
لم(24-2): اگر P یک ایده آل اولیه باشد آنگاه رادیکال P یک ایده آل اول است.
تعریف(25-2): فرض کنیم Q یک ایده آل اولیه باشد و داشته باشیم ، آنگاه گوئیم Q یک ایده آل -P اولیه است.
مثال(26-2): در حلقه Z از اعداد صحیح به ازاء هر عدد اول p ایده آل تولید شده توسط p که آن را به صورت(p) نمایش می دهیم یک ایده آل اول است.
مثال(27-2): ایده آلهای (p4) , (p3) , (p2) و ... و ایده آلهای اولیه هستند زیرا:
پس (pn) یک -(p) اولیه است.
تعریف(28-2): عنصر a در حلقه R را خودتوان گوئیم هر گاه a2=a.
تعریف(29-2): ایده آل I از حلقه R را ایده آل رادیکال نامند هر گاه .
تعریف(30-2): فرض کنیم R' . R دو حلقه باشند نگاشت را یک همومورفیسم حلقه نامند هر گاه:
تذکر: اگر f پوشا نیز باشد یک اپی مرفیسم و اگر f یک به یک باشد آنگاه f یک منومورفیسم نامیده
می شود.
تعریف(31-2): اگر f اپی مرفیسم و منومرفیسم باشد آنگاه f یک ایزومرفیسم نامیده می شود.
تعریف(32-2): فرض کنیم R یک حلقه یکدار و M گروهی آبلی باشد. اگر تابعی مانند
موجود باشد به قسمی که در شرایط زیر صدق کند گوئیم M یک -R مدول چپ است.
تذکر: -R مدول راست مشابها تعریف شود.
تعریف(33-2): فرض کنیم M یک -R مدول، و N زیر مجموعه غیر تهی از M باشد در اینصورت گوئیم N زیر مدول M است و می نویسیم هر گاه:
(1 فرمول
(2 فرمول
تعریف(34-2): منظور از زیر مدول تولید شده توسط m از -R مدول M، مجموعه ای به صورت زیر است:
تعریف(35-2): فرض کنیم P یک زیر مدول از -R مدول M باشد. گوئیم P زیر مدول سره M است هر گاه باشد.
تعریف(36-2): فرض کنیم R یک حلقه و F یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم F یک -R مدول آزاد است هر گاه خانواده از عناصر F موجود باشد به قسمی که هر عضو F را بتوان به صورت منحصر به فرد از ترکیبات خطی این عناصر نوشت. بعبارت دیگر:
تعریف(37-2): فرض کنیم M و N دو R مدول باشند. در اینصورت نگاشت f از M به توی N را یک همریختی R- مدولی بین M و N نامید هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:
تعریف(38-2): اگر یک همریختی -R مدولهای M و N باشد منظور از هسته f و تصویر f مجموعه هایی به شکل زیر هستند:
لم(39-2): اگر یک همزیختی -R مدولی باشد در اینصورت Kerf , Imf به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند.
قضیه(40-2): فرض کنیم یک همریختی -R مدولی باشد و فرض کنیم A زیر مدول M و B زیر مدول N باشد. در اینصورت f(A) و f-1(B) به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند و بالاخره:
قضیه(41-2): اگر یک اپی مرفیسم باشد در اینصورت تناظری یک به یک بین زیر مدولهای A از M که شامل Kerf هستند و زیر مدولهای B از N برقرار است و این تناظر، حافظ جزئیت است یعنی:
تعریف(42-2): فرض کنیم A یک -R مدول و P زیر مدول آن باشد. گوییم P زیر مدول اول A است هر گاه باشد و برای و از بتوانیم نتیجه بگیریم که .
تعریف(43-2): زیر مدول N از -R مدول M را اولیه نامند هر گاه:
1) N زیر مدول سره M باشد.
2) یا
تعریف(44-2): فرض کنیم R یک حلقه و B یک -R مدول باشد. در اینصورت پوچساز B مجموعه ای به صورت زیر می باشد:
تعریف(45-2): -R مدول M را تابدار گویند هر گاه برای هر عضو مخالف صفر M مثل .
تعریف(46-2): -R مدول M را بدون تاب گوئیم هر گاه برای هر و برای هر ، اگر داشته باشیم rm=0 بتوان نتیجه گرفت که r=0 یا m=0 .
تعریف(47-2): -R مدول M را متناهیا تولید شده گویند هر گاه اعضاء در M موجود باشد به طوریکه هر عضو M را بتوان به صورت ترکیب خطی از این عناصر با ضرایب در R نوشت.
تعریف(48-2): فرض کنیم R حلقه و M یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم M در شرط زنجیری صعودی(A.C.C) برای زیر مدولهایش صدق می کند هر گاه هر زنجیر صعودی از زیر مدولهایش ایستا باشد. یعنی برای هر زنجیر صعودی به صورت زیر:
ی موجود باشد بطوریکه برای هر k که داشته باشیم Mn=Mk .
تعریف(49-2): حلقه R را یک حلقه نوتری می گوئیم هر گاه هر زنجیر صعودی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر:
یک زنجیر صعودی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریکه برای هر داشته باشیم:
تعریف(50-2): حلقه R را آرتینی می گوئیم هر گاه هر زنجیر نزولی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر
یک زنجیر نزولی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه موجود باشد، به طوریکه برای هر داشته باشیم:
Ak=An
تعریف(51-2): فرض کنیم R یک حلقه و یک خانواده از -R مدولها باشد و {fi} یک خانواده از همریختی های -R مدولی بین Mi و Mi-1 باشد. در اینصورت رشته:
را دقیق گویند هر گاه Imfi+1=kerfi .
تعریف(52-2): -R مدول P را تصویری گویند هر گاه برای هر رشته دقیق مثل و هر همومرفیسم یک همریختی بین P و A مثل موجود باشد به قسمی .
تعریف(53-2): -R مدول M را ضربی گویند هر گاه برای هر زیر مدول N از M یک ایده آل از حلقه R مانند I موجود باشد بطوریکه N=IM.
تعریف(54-2): -R مدول M را یکانی گویند هر گاه برای هر داشته باشیم: .
تعریف(55-2): فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. در اینصورت گویند N جمعوند مستقیم M است هر گاه زیر مدول N' از M موجود باشد به قسمتی که:
تعریف(56-2): -R مدول M را صادق گویند هر گاه AnnM=0.
تعریف(57-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و I ایده آل R باشد. یک تجزیه اولیه برای I بصورت است بطوریکه Qiها، -Pi اولیه باشند. این تجزیه را تجزیه اولیه کاهش یافته نامیم هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:
P1، ........، Pn، n ایده آل اول متمایز R باشند.
به ازاء هر j=1,2,…..,n داشته باشیم .
قضیه(58-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار بوده و B یک -R مدول باشد که در شرط A.C.C روی زیر مدولهایش صدق می کند. در این صورت هر زیر مدول A از B، یک تجزیه اولیه کاهش یافته دارد.
لم(59-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار و B یک -R مدول باشد در این صورت اگر زیر مدول C از B دارای تجزیه اولیه باشد آنگاه C دارای تجزیه اولیه کاهش یافته است.
لم(60-2): هر -R مدول تصویر همریخت یک -R مدول آزاد است.
برهان: فرض کنیم M یک -R مدول باشد و عناصر M را توسط مجموعه ، اندیس گذاری کرده و بدین ترتیب FM که مجموعه ای به صورت زیر است به عنوان یک -R مدول آزاد در نظر گرفته می شود.
پس هر عضو FM به صورت می باشد که در آن و . اکنون تابع را با ضابطه زیر تعریف می کنیم:
به وضوح خوش تعریف و همریختی پوشا از FM به M می باشد.
لم(61-2)(قانون مدولی ددکیند): فرض کنیم A و B و C زیر مدولهایی از -R مدول M بوده و فرض کنیم باشد. در این صورت داریم:
برهان: ابتدا فرض کنیم در این صورت و .
چون است لذا و موجود است به قسمی که x=b+c. از آنجاییکه است لذا . اما و و A یک زیر مدول است لذا است لذا و می باشد. پس است یعنی .
برعکس: فرض کنیم باشد لذا و موجود است به قسمی که x=b+c اما و از طرفی لذا می باشد. پس و لذا .
تعریف(62-2): را یک مجموعه مرتب جزئی می گوئیم هر گاه سه خاصیت زیر برقرار باشد:
تعریف(63-2): فرض کنیم یک مجموعه مرتب جزئی باشد و یک زیر مجموعه در اینصورت عضو u از را یک کران بالا برای می گویند اگر برای هر ، داشته باشیم .
تعریف(64-2): رابطه روی را مرتب کلی می گوئیم اگر مرتب جزئی باشد و برای هر x و y که در قرار دارند همواره یا .
لم زرن(65-2): فرض کنیم یک مجموعه مرتب جزیی و با ترتیب کلی باشد( دلخواه است)، در این صورت اگر دارای کران بالا در باشد آنگاه دارای عضو ماکزیمال است.
تعریف(66-2): یک -R مدول ساده است هر گاه تنها زیر مدول های M، M,{0} باشند، N زیر مدول ماکزیمال M است اگر و تنها اگر یک -R مدول ساده باشد.
تعریف(67-2): فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. مجموعه از R را با (N:M) نمایش می دهیم که در حالت خاص اگر N=0 آن گاه را نابود ساز M می نامیم و آن را با نمایش می دهیم.
لم(68-2): (N:M) ایده آلی روی R است.
تعریف(69-2): فرض کنیم M یک R- مدول بوده و P ایده آل اول R باشد P را وابسته به M گوئیم هر گاه وجود داشته باشد و به طوری که . مجموعه همه ایده آلهای اول وابسته به M را با AssR(M) نمایش می دهیم.
فصل سوم:
خواص اساسی از زیر مدولهای اول
خواص اساسی از زیر مدولهای اول
(1-3) تعریف: فرض کنیم R یک حلقه و M یک -R مدول باشد. زیر مدول حقیقی N از -R مدول M را اول یا(-P اول) گوییم هر گاه برای هر r از R و برای هر m از M که داشته باشیم:
یا . به سادگی دیده می شود که P=(N:M) یک ایده آل اول است.
(2-3) تعریف: فرض کنیم M یک -R مدول و N زیر مدول M باشد. N را جمعوند مستقیم M گوییم هر گاه برای بعضی زیر مدول N' از M .
(3-3) تعریف: فرض کنیم A یک دامنه صحیح و M یک -A مدول باشد. یک عضو را عضو تابدار گوییم اگر یعنی توسط عناصر غیرصفر A خنثی می شود. عضوهای تابدار M تشکیل زیر مدول از M می دهند. این زیر مدول که زیر مدول تابدار نام دارد با T(M) نشان داده می شود.
(4-3) تعریف: اگر T(M)=0 مدول M را مدول فارغ از تاب می نامیم.
Absrtact
In this thesis all rings are commutative with identitiy and all modules are unitary. The thesis includes an introduction proceeds by 7 chapters.
Chapter one includes objective, review of literature, and methods. Chapter 2 includes difinitions and primary theorems. Chapter 3 includes the main properties of prime submodules. Chapter 4 includes the main properties of M-radicals and the main result of the Chapter 5 can be stated as follows:
Theorem 1: Let R be a ring. Then R (s.t.r.f) provided that any one of the following is staisfied:
(i)For every free R-Module F.F (s.t.r.f).
(ii)For every R-Module A, rad(O)=.
(iii)R is a ring homorphic image of S where S(s.t.r.f).
(iv)For every faithful R-Module A.A(s.t.r.f).
Then in the Chapter 6 of this thesis we let R be a principal ideal domain and consider the free R-module A=Rn, .
And the main result of the final Chapters 6,7 can be stated as follows.
Theorem 2: Let R be a principal ideal domain, A=Rn and PA. The following are equivalent:
(i)P is a direct summand of A.
(ii)P is closed.
(iii)If PA the
Absrtact
In this thesis all rings are commutative with identitiy and all modules are unitary. The thesis includes an introduction proceeds by 7 chapters.
Chapter one includes objective, review of literature, and methods. Chapter 2 includes difinitions and primary theorems. Chapter 3 includes the main properties of prime submodules. Chapter 4 includes the main properties of M-radicals and the main result of the Chapter 5 can be stated as follows:
Theorem 1: Let R be a ring. Then R (s.t.r.f) provided that any one of the following is staisfied:
(i)For every free R-Module F.F (s.t.r.f).
(ii)For every R-Module A, rad(O)=.
(iii)R is a ring homorphic image of S where S(s.t.r.f).
(iv)For every faithful R-Module A.A(s.t.r.f).
Then in the Chapter 6 of this thesis we let R be a principal ideal domain and consider the free R-module A=Rn, .
And the main result of the final Chapters 6,7 can be stated as follows.
Theorem 2: Let R be a principal ideal domain, A=Rn and PA. The following are equivalent:
(i)P is a direct summand of A.
(ii)P is closed.
If PA then P is prime and dim P