پایان نامه استخراج توزیع دمایی جوش تیک با استفاده از روش تفاضل محدود

چکیده 

یکی از ساده ترین روشهای عددی که به عنوان اولین روش دینامیک سوالات محاسباتی استفاده می شود، روش تفاضل محدود می باشد. این روش بر اساس تبدیل جملات مشتقات به جملات تفاضلی مقادیر مدنظر می باشد. در بررسی و تحلیل جوش، مهمترین و ابتدایی ترین محاسبات بدست آوردن تاریخچه دمایی منطقه جوش برای بارگذاری حرارتی و پیدا کردن تنش های پسماند و باقیمانده و اعوجاج ها می باشد. در صورتی که در یک قطعه  چندین نوبت و در چند نقطه جوش نیاز باشد، توالی آن برای کم کردن اعوجاج ها و تنشهای پسماند اهمیت پیدا می کند. لذا رسیدن به تاریخچه دمایی اهمیت خاصی دارد. 

در این مقاله تلاش شده است با کمک ساده ترین روش عددی، روش تفاضل محدود، با ساده سازی مسأله از سه بعدی به دو بعدی با نوشتن کد مناسبی، تخمین مناسبی برای بدست آوردن تاریخچه دمایی استفاده شود. در ادامه به توضیح این فرآیند            می شود. بدیهی است با گسترش این روش و اضافه کردن تحلیل اعوجاج ها می توان ترتیب و توالی ( پاسهای ) جوشکاری را بدست آورد. با توجه به سادگی این روش و کم هزینه                                           

                       و حجم محاسبات با بررسی میزان خطای محاسبات، دقت محاسباتی این روش تأیید و استفاده از این روش برای بدست آوردن تاریخچه دمایی جوش توصیه می شود.

مقدمه 

سالها پیش، بهترین روش برای تأیید تئوریهای محققان و دانشمندان، انجام آزمایشهای تجربی و نمونه برداریهای مستقیم از پدیدها در حین رخ دادن آنها بود. این امر همیشه با دو مشکل اساسی کمبود وقت و هزینه همراه بود. گذشته از آن بدلیل شرکت مستقیم انسان در امر اندازه گیری و محاسبات، نتایج از ضریب خطای بالایی برخوردار بود. در پی رفع این مشکلات، بشر به فکر مدل کردن میدان های فیزیکی افتاد و این شد که او توانست با مدل کردن میدان فیزیکی با استفاده از یک مجموعه نقاط و اتصالات بین آنها شبکه محاسباتی را به وجود آورد و فضای فیزیکی را به فضای محاسباتی تبدیل کند. ولی هنوز یک مشکل بزرگ وجود داشت و آن هم حجم زیاد محاسبات بود که به یاری کامپیوتر انسان بر این مشکل پیروز شد. برای حل این شبکه محاسباتی روش های عددی زیادی ایجاد و ابداع شد. در این روش های عددی متعددی نظیر تفاضل محدود، المان محدود، استریپ تئوری ، پنل محدود، المان مرزی و المان محدود کوپل شده با المان مرزی به وجود آمد. هریک از این روش ها دارای مزایا و معایبی می باشد که سبب به وجود آمدن یک دامنه عملیاتی مشخص برای آنها در رفع مشکلات بشر شده است که باید با توجه به نیازها و مشکلات و توانایی های هرکدام از این روشها، مناسب ترین روش انتخاب شود.

جوش الکترودی یکی از پر کاربردترین  روشهای ساخت برای اتصال قطعات و قسمت های مختلف سازه کشتی ها می باشد. به خاطر دمای بالای منطقه جوش در حین و بعد از فرآیند جوش و تأثیر آن بر توزیع تنشهای پسماند و تغییر شکلهای ناخواسته. بدست آوردن توزیع دمایی و سپس کاهش اثرات ناشی از آن به ویژه در انتخاب توالی پاسهای جوشکاری اهمیت خاصی دارد. علیرغم این که تاکنون در این زمینه تحقیقات زیادی صورت گرفته است. تلاش برای رسیدن به برنامه مناسبی که بتواند این تاریخچه دمایی را استخراج کند و بررسی تأثیر آن بر توزیع تنشهای پسماند و تغییر شکلهای ناخواسته را ساده نماید، هنوز مهم می نماید. این مقاله تلاشی برای نزدیک شدن به این برنامه و ارائه توزیع دمایی جوش دو بعدی می باشد.

معرفی روش تحلیل

در روش تفاضل محدود برای حل معادلات سهموی که از جمله مشهورترین این نوع معاملات، معادله انتقال حرارت در جسم می باشد. دو روش مورد استفاده قرار می گیرد. یکی روش صریح و دیگری روش ضمنی، در این مسأله از روش صریح برای حل استفاده شده است. به صورت کلی معادله این روش را به صورت زیر می توان بیان نمود: 

فرمول

 همانگونه که دیده می شود علت این نامگذاری استفاده مستقیم از جواب مرحله قبل و ضرب آن در ماتریس ضرایب برای بدست آوردن جواب در مرحله بعد می باشد. خصوصیت این روش نسبت به روش ضمنی حجم محاسبات کمتر آن می باشد. اما عیب آن پایداری کمتر جوابها می باشد. مسأله تنها برای مقادیر خاصی از فاصله گرهها و بازده زمانی پایدار می باشد. ماتریس ضرایب و مقادیر ثابت در رابطه 1 برای حالت دو بعدی به صورت زیر تعریف می شود.

( 2 ) فرمول

( 3 ) فرمول

مقدار  با کمک معادله حاکم بر فیزیک مسأله قابل تعریف می باشد که همانگونه که در ادامه بیان می شود برابر است با:

( 4 )                                 

فرمول

معرفی تئوری مسأله 

با فرض کوچک بودن ضخامت ورق در حال جوش، می توان توزیع دمایی ناشی از جوش را دو بعدی فرض کرد و در نتیجه معادله حاکم بر مسأله به صورت زیر بیان می شود.

( 5 ) فرمول

در این رابطه  ضریب انتقال حرارت جهتی ماده   نرخ گرمایی تولیدی خارجی   ظرفیت گرمایی ویژه ماده و  چگالی آن می باشد. در این معادله معمولاَ ضریب انتقال حرارت ماده بدون جهت بوده ( در همه جهات برابر فرض می شود ) و در مسأله مورد بررسی نرخ گرمایی تولیدی برابر صفر می باشد. 

شرط مرزی کلی حاکم بر این مسأله به صورت زیر بیان می شود:

( 6 ) فرمول

در این رابطه   کسینوس جهتدار مرزها،      گرمای انتقالی در اثر همرفت و   گرمای انتقالی تشعشعی می باشد. هریک از این حرارتهای انتقالی بر اساس روابط زیر قابل محاسبه هستند:

( 7 )      فرمول

( 8 ) فرمول

    با ضریب همرفت هوا در ناحیه جوشکاری،   دمای محیط،  ضریب تشعشع ماده و  ثابت بولتزمان می باشد. همانگونه که مشاهده می شود، انتقال حرارت تشعشعی رابطه ای غیر خطی دارد و برای خطی سازی آن از دمای مرحله قبل تحلیل استفاده شده است. رابطه به صورت زیر ساده شده است:

( 9 )    فرمول

در مورد مدلسازی حرارت ناشی از قوس الکتریکی جوشکاری روابط متنوعی بیان شده است که از معتبرترین آنها در نظر گرفتن مخروط قوس و بیان رابطه آن به صورت زیر می باشد:

( 10 )         فرمول      

در اینجا     شعاع مخروط جوش،       سرعت خطی الکترود جوش،    شدت جریان،        اختلاف پتانسیل و        بازده قوس الکتریکی می باشد. به دلیل نداشتن ماده پر کننده از گرمای ذوب آن صرف نظر شده است.

بیان مسأله و فرضیات

مسأله مورد بررسی در این مقاله بدست آوردن توزیع دمایی ناشی از دو ورقی مستطیلی می باشد. هندسه مورد بررسی در شکل زیر ملاحظه می شود: 

ورق نازک مستطیلی با ابعاد مشخص که محور    عمود بر راستای خط جوش و محور           در راستای آن می باشد. در تحلیل های صورت گرفته ورق به صورت مربعی با ابعاد 50 ×50 میلیمتر در نظر گرفته شده است. این در حقیقت نیمی از ورق بوده و نیمه دیگر از ضلع        به این ورق جوش داده می شود. در شکل زیر محیط محاسباتی نشان داده شده است.

در موقعیت         با توجه به اینکه صفحه تقارن و درز جوش می باشد، شرایط آدیاباتبک و یا عایق فرض می شود. برای سه مرز دیگر شرط مرزی به صورت نویمان و با انتقال حرارت به صورت همرفت و تشعشعی فرض شده است. 

مقادیر زیر برای مدل کردن فیزیک مسأله در نظر گرفته شده است:

چگالی ضریب حرارتی ویژه و ضریب رسانایی فولاد معتبر با دما فرض شده است و به کمک توابعی تغییرات آن تعریف شده است. دماها براساس کلوین می باشد. ضوابط بکار برده شده به قرار زیر است:

در این مسأله شکل ساده می باشد و تنها می بایست با منطق درستی شماره گذاری گره ها انجام شود. تعداد تقسیمات در جهت محور     و یا عرض قطعه ( عمود بر درز

جوش) برابر    و در جهت    و یا طول درز جوش برابر       می باشد و می توان بیان داشت که اگر روی هریک از این جهت ها به ترتیب شمارنده i  و   j عمل کند بازده تغییرات هریک و یا به عبارت دیگر تعداد گره روی هریک از این جهات یکی بیشتر از تعداد تقسیمات است. لذا خواهیم داشت:

در  صورتی که شماره گذاری از نقطه                  آغاز شود و با    نمایش داده شود و ابتدا شمارنده  و سپس  مقدارش اضافه شود رابطه این شماره گذاری چنین خواهد بود:

به طور شماتیک، شکل مش بندی شده در حالت دو بعدی به قرار زیر است:

نتایج

برای حل مسأله کدی به زبان برنامه نویسی فرترن تهیه شده است. در ابتدای کد، اطلاعات و فرضیات اولیه مسأله به عنوان ورودی تعیین می شود. این اطلاعات در قسمت فرضیات به طور کامل توضیح داده شده است. سپس اطلاعات مختصات و شماره مش ها تولید می شود. در قسمت بعد در یک حلقه، با اضافه شدن زمان، دماهای گره ها محاسبه می شود. در زمان ابتدایی، دماهای ورودی برای نقاط درگیر با مخروط حرارتی قوس الکتریکی محاسبه می شود. در صورتی که گرهها دور از قوس باشند و یا مرحله زمانی بعد از جوشکاری باشد ( در هنگام خنک شدن قطعه )، دماهای مرحله قبل لحاظ می شود.

در هر مرحله زمانی به کمک زیرروالی، برای نقاط درونی این شبکه مش، ماتریس ضرایب و مقادیر ثابت، بر اساس دمای مرحله قبل گره محاسبه می شود. ورودی های زیزوال بازه مکانی در جهت  xو y  و بازه زمانی، تعداد تقسیمات در جهت x  و   y ضریب انتقال حرارت هوا، دمای محیط، ضریب صدور تشعشع قطعه فولادی و ثابت اپسیلون و ماتریس دمایی گرهها در مرحله زمانی بعد می باشد. در نهایت، ماتریس ضرایب A  و مقادیر ثابت B برای نقاط درونی شبکه مش محاسبه می شود.

نهایتاَ، دمای گرههای مرز با توجه به شرایط مرزی عنوان شده، محاسبه و حلقه زمانی به پایان رسیده و وارد مرحله زمانی بعد و تکرار این مراحل می شود. سه تابع نیز همچنان که در قبل بیان شد برای بدست آوردن چگالی، ضریب حرارتی ویژه و ضریب رسانایی فولاد در هر بازده زمانی با توجه به زمان قبل استفاده شده است.

برای کنترل صحت برنامه نوشته شده از سه روش زیر استفاده شده است.

1- روش اول: ابتدا دمای قطعه برابر دمای محیط در نظر گرفته می شود. با دادن زمان و تحلیل مدل هیچ تغییری در دمای قطعه ایجاد نمی شود.

2- روش دوم: دمای قطعه بیش از دمای محیط به صورت یکنواخت و ثابت فرض شود و ضریب تشعشع قطعه ( اپسیلون ) و ضریب انتقال حرارت همرفت هوا صفر فرض می شود. در این حالت همه چهار مرز به صورت عایق می باشد. نتایج نشان می دهد که در دمای قطعه هیچ تغییری ایجاد نمی شود. این با واقعیت مطابقت دارد.

3- روش سوم: در این حالت دمای قطعه بیش از دمای محیط فرض می شود و شرایط مرزی دارای انتقال حرارت است. می دانیم در صورتی که شرایط زمانی و فیزیکی قطعه یکسان باشد، اگر دمای قطعه خیلی بیشتر از دمای محیط باشد با سرعت بیشتری نسبت به حالتی که دمای قطعه نزدیک دمای محیط است خنک می شود. این به خاطر توان چهارم اختلاف دمای قطعه و محیط می باشد.

در این مسأله با قطعه ای 50×50 میلیمتر و با شرایط فیزیکی فرضیات ارائه شده در بالا و دمای محیط 298 کلوین در زمان 500 ثانیه دمای قطعه از 320 کلوین به 317 کلوین و دمای قطعه از 2300 کلوین می رسد. این با واقعیت             دارد. در صورتی که برای مورد اول با دمای اولیه قطعه معادل 320 کلوین زمان را بیشتر کنیم باز هم به دمای محیط نمی رسیم. یعنی نرخ خنک شدن خیلی کند می شود. هیچ گاه هم به دمای زیر دمای محیط نمی رسیم. این با واقعیت             دارد.

در اینجا خروجی های برنامه برای 9 گره شکل زیر که در حقیقت در چهار گوشه و وسط چهار ضلع و مرکز قطعه می باشد ارائه شده است.

تاریخچه دمایی 9 گره که مختصات آن از زمان صفر تا 55 , 12 ثانیه استخراج و نمایش داده می شود.