پایان نامه کارشناسی ارشد رشته ریاضی کاربردی (M.Sc)
چکیده
در این مقاله ارتباط بین مدلهای DEA غیرپارامتری برای تحلیل کارایی و مدل های MCDM برای حالت خطی و غیرخطی معین می گردد .
با به کار بردن ویژگی های نسبی لاگرانژ نشان داده می شود مدلهای BCC ، CCR و مدل های FDH در DEA با مدل MCDM معادل هستند .
خطی سازی FDH همراه با تفسیرهای دوآل ارائه می شود . این بحث ادامه پیدا می کند و تحولات نو را در بر می گیرد .
مدل های FRH ، ERH و مدل های غیرمحدب پیترسون (1990 ) نشان داده می شود . مدل FRH برنامه ریزی مختلف و مدل ERH به عنوان مدل CCR ، BCC مشخص می شود .
فصل اول : تحلیل پوششی داده ها
1-1 مقدمه :
موضوع تحلیل پوششی داده ها (DEA) در سال (1979-1978) توسط جارنز - کوپر - رودز[1] مطرح شد . آنها اساس کار خود را بر روی مقاله فارل (1957) بنا نهادند . حاصل این تحقیقات مقاله ای به نام CCR شد .
بعد از آن بنکر - چارنز - کوپر[2] (1984) مقاله BCC را مطرح کردند .
این دو مقاله پایه بسیاری از مطالعات تحلیل کارآیی شد و این شاخه از علم تحقیق در عملیات به نام تحلیل پوششی داده ها[3] گسترش یافت .
به طوری که امروزه بیش از 2.000 مقاله گزارش و کتاب در این زمینه ارائه و منتشر شده است .
1-2 واحد های تصمیم گیرنده :(DMU)[4]
هر DMU بوسیله یک بردار ورودی و یک بردار خروجی مشخص می شود . مولفه‌های بردار ورودی X ، شاخص های ورودی و مولفه های بردار خروجی Y ، شاخص های خروجی می باشند .
واحدهای تصمیم گیرنده ، قدرت اجرایی و قدرت تصمیم گیری دارند . اما معمولاً قادر نیستند تشخیص دهند که ، چه برنامه ای را باید اجرا نمایند . برای این منظور محاسبه اندازه کارآیی DMU ها ، می تواند بسیار مفید و مطلوب باشد .
روش های مختلفی برای محاسبه اندازه گیری کارآیی ارائه شده است که می توان آنها را به دو دسته عمده تقسیم کرد .
روش های پارامتر و روش های غیرپارامتری
اما این مستلزم تعیین تابع تولید می باشد که در DEA مهم‌ترین مسئله می باشد .
1-3 تابع تولید :[5]
تابع تولید ، تابعی است که بیشترین خروجی ممکن را از ترکیب ورودی ها فراهم می کند .
فرض کنید m ورودی به صورت برای تولید یک خروجی به صورت y مصرف ، می شود .
تابع تولید را به صورت در نظر می گیریم .
اما این تعریف دو ضعف بزرگ دارد .
1)فقط برای حالت های تک خروجی کاربرد دارد .
2)تعیین ضابطه f .
به همین دلیل این روش کاربرد چندانی ندارد .
1-4 روشهای پارامتری
ایده کار به این صورت است که ، تابعی پیش فرض در نظر گرفته می شود . سپس با استفاده از تکنیک های مناسبی پارامترهای آن تعیین می گردد .
یکی از معروف ترین توابع تولید ، در اقتصاد خود تابع کاب داگلاس[6] است .
که صورت کلی آن به صورت زیر است :
ورودی ها و و پارامتر هستند که با روش های بهینه سازی تخمین زده می‌شوند .
فرض کنید خروجی واحد ام و ورودی i ام باشد .
چون بیشترین خروجی ممکن است پس :
با لگاریتم گیری از طرفین داریم :
در این صورت :
هدف کمینه کردن انحراف برای تمام واحدها است .
در تئوری اقتصاد خرد ، شکل تابع تولید را به صورت زیر در نظر می گیرند
این معادل است با مینیمم نمودن عبارت :
بنابراین مساله برنامه ریزی خطی زیر را داریم :
این مسئله همواره جواب شدنی دارد . بعنوان مثال :
یک جواب شدنی مسئله است .
کارائی کاب - داگلاس برای واحد ام به صورت زیر تعریف می شود :
مقدار خروجی بهینه با استفاده از تابع کاب - داگلاس است .
1-4-1 قضیه :
ثابت کنید در تابع کاب - داگلاس ، اگر در این صورت برای هر ، ؟
اثبات :
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)
1-5 تعریف غالب :[7]
معمولاً در بین مشاهدات ، ورودی ها با مقادیر کمتر ، با مقادیر خروجی ناکمتر و یا خروجی ها با مقادیر بیشتر با مقادیر ورودی نابیشتر مطلوب هستند .
دو با ورودی و خروجی را به صورت زیر در نظر بگیرید :
در صورتی که داشته باشیم :
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)
و این نامساوی برای لااقل یک مولفه به صورت اکید باشد ، در این صورت واحد تصمیم گیرنده اول ، واحد تصمیم گیرنده دوم را مغلوب کرده است .
و یا واحد دوم ، در مقایسه با واحد اول ناکارا است .
1-5-1 تعریف :
، به صورت مفروض است .
فرض می کنیم:
، کارای نسبی است اگر و فقط اگر نتوان ی از یافت که :
و این نامساوی لااقل در یک مولفه به صورت اکید باشد .
بنابراین اگر وجود داشته باشد به طوری که :
و این نامساوی لااقل برای یک مولفه به صورت اکید باشد ، در این صورت واحد در مقایسه با امکان تولید ناکارا است .
1-6 مجموعه امکان تولید :(PPS)[8]
همان طور که گفته شد ، تابع تولید که به روش های پارامتری تعیین می شود ، دو اشکال عمده دارد . برای رفعه این دو مشکل ، محققین را بر آن داشت تا با استفاده از ورودی ها و خروجی ها ، مجموعه ای به نام مجموعه امکان تولید فراهم نمایند .
به طوری که مرز این مجموعه به عنوان تابع تولید تجربی در نظر گرفته می شود .
هر نقطه واقع در مرز ، به صورت ترکیب نامنفی از مشاهدات می باشد
مجموعه امکان تولید را به صورت زیر تعریف می کنیم :
ورودی X بتواند خروجی Y را تولید نماید
1-7 مدل های اساسی DEA
زوج بردارهای ورودی و خروجی ، به صورت را در نظر می‌گیریم.
فرض می کنیم این بردارها نامنفی باشند . و لااقل یک مولفه مثبت داشته باشند .
این مطلب را با نماد ریاضی به صورت زیر می نویسیم :
مجموعه امکان تولید را با حرف نشان می دهیم . و برای تعریف آن ، اصول موضوعه زیر را می پذیریم.
1-اصل ناتهی بودن (شمول مشاهدات) :
تمامی مشاهدات در قرار دارد .
2-اصل بیکرانی اشعه (بازده به مقیاس ثابت ) :
اگر در این صورت برای هر ،
3-اصل امکان پذیری :
برای هر مشاهده ، هر فعالیت نامنفی که و باشد ، در این صورت .
4-هر ترکیب نامنفی مشاهدات متعلق به است .
بنابراین مجموعه امکان تولید T که در اصول موضوعه فوق صدق می کند ، به صورت زیر بدست می آید :
برای ارزیابی هر DMU ، روشی که بکار می رود به این صورت است که ، فاصله شعاعی بین هر مشاهده و یک نقطه از مرز را که به صورت ترکیب نامنفی n مشاهده است ، محاسبه می شود .
اما ممکن است تمامی اصول موضوعه فوق ، به غیر از اصل اول برقرار نباشند . بنابراین در حالت کلی ، تحت مفروضات (اصول موضوعه) قابل قبول ، مسئله برنامه ریزی خطی زیر یک مدل اساسی در ماهیت خروجی است .
یک مجموعه از وزن های است . و Z بعداً معرفی می شود .
(1-1)
و یک ثابت نا ارشمیدسی است . و .
مساله (1-1) در ماهیت خروجی ، کمترین فاصله در وضعیت خروجی بین واحد تحت ارزیابی و مرز تشکیل یافته به وسیله ترکیب نقاط مشاهده شده با استفاده از مضارب را می دهد .
اگر کاهش ورودی واحد مد نظر باشد ، در این صورت مسئله (1-2) در ماهیت ورودی زیر به کار می رود .
(1-2) مجموعه های زیر ، با توجه به شرائط قرار داده شده روی و همچنین فرض بازده به مقیاس پیشنهاد شده است
1-7-1 فرم پوششی مدل CCR اساسی در ماهیت خروجی (چارنز و همکاران1978) :
(1-3)
PPS این مدل به صورت زیر است :
1-7-2 فرم پوششی مدل BCC اساسی در ماهیت خروجی (بنکر و همکاران 1989)
(1-4)
PPS این مدل به صورت زیر است :
1-7-3 قضیه
در مدل های (1-3) و (1-4) ، ؟
اثبات :
برای مدل (1-3) ، و و
یک جواب شدنی است . بنابراین :
عیناً برای مدل (1-4) ثابت می شود .
1-7-4 قضیه :
واحد کارای مدل (1-3) است ، اگر و فقط اگر
1)
2) در هر جواب بهینه .
اثبات :
مدل (1-3) مفروض است ./ فرض می کنیم جواب بهینه این مدل باشد و کارای این مدل .
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)